Ketaksamaan AM – GM, QM – AM – GM – HM adalah konsep yang berhubungan dengan angka geometri dan statistik. Mari kita jelaskan masing-masing konsep dan berikan contoh soal beserta cara pengerjaannya:
Ketaksamaan AM – GM (Mean – Geometric Mean Inequality)
Ketaksamaan AM – GM adalah prinsip dalam matematika yang menyatakan bahwa rata-rata aritmetika (AM) dari sejumlah angka selalu lebih besar atau sama dengan rata-rata geometri (GM) dari angka-angka tersebut. Secara matematis, ketaksamaan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
Jika a_1, a_2, …, a_n adalah bilangan positif, maka:
AM (a_1, a_2, …, a_n) ≥ GM (a_1, a_2, …, a_n)
Contoh soal:
Tentukan AM dan GM dari angka 2, 3, dan 6, lalu periksa apakah ketaksamaan AM – GM terpenuhi.
Cara pengerjaan:
AM = (2 + 3 + 6) / 3 = 11/3
GM = √(2 * 3 * 6) = √(36) = 6
Kemudian kita memeriksa apakah AM lebih besar dari GM:
AM = 11/3 ≈ 3.67
GM = 6
Karena AM lebih besar dari GM (3.67 > 6), maka ketaksamaan AM – GM terpenuhi.
QM – AM – GM – HM (Quadratic Mean – Arithmetic Mean – Geometric Mean – Harmonic Mean)
Konsep ini melibatkan empat jenis rata-rata (mean) yang dikenal sebagai QM, AM, GM, dan HM. Masing-masing rata-rata ini digunakan dalam berbagai konteks matematika dan statistik. Ketika keempat rata-rata ini diurutkan dalam suatu deret, hubungan berikut muncul:
QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM
QM adalah rata-rata kuadrat atau akar kuadrat rata-rata. AM adalah rata-rata aritmetika. GM adalah rata-rata geometri. HM adalah rata-rata harmonik.
Contoh soal:
Diberikan empat bilangan positif 2, 3, 4, dan 8. Tentukan QM, AM, GM, dan HM dari bilangan-bilangan ini.
Cara pengerjaan:
1. QM = √((2^2 + 3^2 + 4^2 + 8^2) / 4) = √(4 + 9 + 16 + 64) / 4 = √93 / 4
2. AM = (2 + 3 + 4 + 8) / 4 = 17 / 4
3. GM = √(2 * 3 * 4 * 8) = √192 = 8√3
4. HM = 4 / ((1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/8)) = 4 / (8/24 + 12/24 + 6/24 + 3/24) = 4 / (29/24) = 96/29
Kemudian kita memeriksa hubungan antara rata-rata ini:
QM (√93 / 4) ≥ AM (17/4) ≥ GM (8√3) ≥ HM (96/29)
Ini mengonfirmasi urutan yang dijelaskan di atas. Jadi, QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM dalam contoh ini.
